81. Физический смысл преобразований Лоренца

Упоминание в предыдущем сообщении о расширении пространства в однородном гравитационном поле (см. пост 80) побудило меня рассказать о физическом смысле преобразований Лоренца (ПЛ), так как при переходе наблюдателя из «неподвижной» системы отсчета в «движущуюся», сопровождаемом ПЛ, уже «проявляется» феномен расширения пространства. Кроме того, в который раз на Астофоруме поднята тема, связанная с пониманием физического смысла ПЛ, но до сих пор, на мой взгляд, полной ясности там не достигнуто. Но прежде, чем обратиться к ПЛ, предварительно я напомню из школьного учебника по физике, что такое преобразования Галилея (ПГ).

Пусть мимо «покоящейся» инерциальной системы отсчета S (ИСО S) движется в направлении оси X другая ИСО S' с постоянной скоростью V(рис 1).

Рис 1

Пусть в момент совпадения начал координат O и O' этих систем на часах, покоящихся как в системе S, так и в системе S', устанавливают нулевые показания. Пусть, наконец, в момент t по часам, покоящимся в S, в системе S происходит некоторое событие C в точке с пространственной координатой x (то есть все координаты события C в системе S таковы: x=x, y=0, z=0, t=t). Тогда координаты этого же события C, как это непосредственно видно из Рис 1, в системе S' равны:

Формулы (1) и являются ПГ координат события C при переходе из ИСО S в ИСО S'. Эти преобразования связывают координаты событий в двух системах отсчета, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно. Причем в «нулевой» момент времени (t=0), когда наблюдатели, покоящиеся в началах координат своих систем отсчета и находящиеся (условно) в одной и той же точке пространства, в соответствии с формулами (1) наблюдают одни и те же координаты любого события (x=x', y=y'=0, z=z'=0, t=t'=0). Иначе говоря, пространство-время при ПГ остается неизменным, общим для любых инерциальных наблюдателей. Потому что если бы один из наблюдателей «перепрыгнул» из своей ИСО S к другому наблюдателю в другую ИСО S' (когда оба наблюдателя находятся условно в одной и той же пространственной точке), то он не обнаружил бы никаких изменений координат происходящих событий.

Так вот, в начале 20 века физики выяснили, что ПГ, вообще говоря, неверны. Долгое время это не удавалось заметить, так как ПГ дают малую погрешность при скоростях тел, малых по сравнению со скоростью света (практически в макромире так всегда и бывает). И лишь тогда, когда исследования электромагнитных явлений зашли в тупик (в это время для описания этих явлений в разных системах отсчета Лоренц уже нашел преобразования, названные позднее его именем), Эйнштейн и обнаружил ограниченные возможности ПГ. Эйнштейн, заменив ПГ преобразованиями Лоренца для всех мыслимых явлений и скоростей, и создал специальную теорию относительности (вы, возможно, начнете смеяться, подумав, что предложить столь простой вариант спасения физики мог бы каждый J). Как же выглядят ПЛ для координат того же события C  на Рис. 1? В тех же обозначениях, что и раньше, ПЛ имеют вид:

где c — скорость света.

Глядя на формулы (2), можно заметить, что при скоростях V, много меньших скорости света c, ПЛ переходят в ПГ, так что эффекты специальной теории относительности (СТО) в «обычной» жизни незаметны. Тем не менее, если ПЛ верны, время и пространство неразрывно связаны друг с другом, так как новая (штрихованная) координата времени (t') в ПЛ зависит от пространственной координаты x, а в ПГ время при переходе из одной системы отсчета в другую неизменно. В этом и состоит принципиальное различие ПЛ и ПГ. А физическое содержание СТО сводится к интерпретации смысла математических формул (2) и следствий, вытекающих из анализа этих формул.

Обычно ПЛ интерпретируют как результат поворота координат некоторой системы отсчета в четырехмерном пространстве-времени, при этом связь координат двух систем отсчета (исходной и повернутой) и дает ПЛ. Однако из подобной математической интерпретации извлечь физический смысл способен, по-видимому, лишь некий интеллектуальный супермен. Поэтому мне пришлось в работе [1] рассмотреть смысл ПЛ отдельно для трехмерного пространства и отдельно для времени. Это дало возможность понять, как меняется физическая ситуация при переходе наблюдателя из одной системы отсчета в другую. Для тех, кто не знаком с этой ситуацией, я приведу ниже два фрагмента из работы [1].

В первом фрагменте я поясняю, какой смысл вкладывается мной в понятие «видеть» события, происходящие вдали от наблюдателя. Корректировка смысла этого понятия понадобилась мне по трем причинам.

Во-первых, для того, чтобы развеять убеждение одних людей, пытающихся показать несостоятельность СТО, будто бы Эйнштейн и его последователи не учитывают время движения информационного сигнала от события до наблюдателя.

Во-вторых, другие люди «что видят, то и поют», полагая, что с помощью приборов эффекты СТО наблюдаются непосредственно, а это не всегда так. Например, если мы наблюдаем за быстро летящим жестким шаром, то, в силу конечной скорости света и поступления к нам сигналов от разных частей поверхности шара, он «видим» нами несокращенным; на самом деле пролетающий мимо нас шар сжат в направлении своего движения. Или еще пример. Наблюдение эффекта Доплера при приближающемся объекте «говорит» нам о том, что время на этом объекте ускорено по сравнению с нашим временем. На самом деле СТО обнаружила, что на движущихся телах время всегда «замедлено» с точки зрения наблюдателя, покоящегося на неподвижном теле, независимо от того, приближается тело к наблюдателю или удаляется от него. Так что эффект Доплера не имеет почти никакого отношения к «чистым» эффектам «замедления» времени, обнаруженных СТО (кое-что о «течении» времени см. пост 28).

Наконец, в-третьих, при анализе реальной ситуации при решении какой-нибудь задачи, связанной с СТО, требуется каждый раз многословно разъяснять, какое событие реально происходит в удаленной точке от наблюдателя в текущий момент времени (по часам наблюдателя), так как конечная скорость поступления информации об этом событии искажает картину. Многословие затрудняет понимание, поэтому для ясности изложения материала я не придумал ничего лучшего, как «вложить» в термин «видеть» специфический смысл, исключающий негативное влияние "удаленности" событий. Возможно, было бы лучше придумать новый термин, однако слово «видеть», с моей точки зрения, наиболее подходит к данной ситуации, разумеется, с заранее оговоренным смыслом, который в него вкладывается.

Во втором фрагменте рассматривается именно физический смысл преобразований Лоренца.

Итак, первый фрагмент ([1], стр 18-20).

4. Соглашение об употреблении понятий "вижу в данный момент времени", "наблюдаю в данный момент времени" и т. п.

В любой текущий момент времени мы можем видеть только то, что происходит в непосредственной близости возле нас (возле регистрирующего прибора). То, что происходит вдали от нас (на некотором расстоянии от нас), в настоящий момент времени мы принципиально наблюдать не можем. Потому что информация о событиях, происходящих вдали от нас, не может "добраться" до нас с бесконечной скоростью. Существование предельной (конечной) скорости получения информации из удаленных областей пространства накладывает, таким образом, ограничение на возможность наблюдать удаленные события в текущий момент времени.

Тем не менее, употребляя выражение: "в данный момент времени наблюдатель видит…", мы будем иметь в виду, что наблюдатель в данный момент времени видит не только близлежащие события, но и все удаленные события,  происходящие одновременно с близлежащими.

Например, мы будем подразумевать, что, наблюдатель, находясь в точке А длинного стержня АВ, видит расположение конца В этого стержня в определенной точке своей координатной системы так, как будто существует мгновенная передача информации о положении точки В. Но следует помнить, что речь идет всего лишь о предполагаемой картине, основанной на высокой вероятности, например, того, что удаленный конец стержня самостоятельно не загорелся и поэтому не изменил своего местоположения.

Разумеется, реально наблюдатель видит удаленные события  последовательно во времени, начиная с событий, расположенных в пространстве ближе к наблюдателю. Эту задержку во времени получения информации из удаленных точек пространства нельзя путать с замедлением времени в движущихся системах отсчета, обнаруженным СТО. Это совершенно разные эффекты, и было бы наивным думать, что авторы теории относительности и их сторонники, говоря о замедлении времени в движущихся системах отсчета, имеют в виду замедление поступления к наблюдателю информации о показаниях движущихся часов в связи с конечностью скорости передачи этой информации.

Почему же мы имеем право, не впадая в заблуждения, придерживаться той точки зрения, согласно которой в некоторый момент "нашего" времени мы "видим" то, что удалено от нас на очень большие расстояния? Ведь действительная информация из этих удаленных от нас мест может поступить к нам только через, например, сотни световых лет (световой год — это расстояние, проходимое светом за год).

Наличие такого "права" становится понятным после анализа часто употребляемого нами выражения: "наблюдатель, покоящийся в ИСО".

Мы уже говорили о том, что наблюдатель, покоящийся в ИСО, это такой наблюдатель, который имеет нулевую скорость относительно ИСО. Однако это еще не все. Говоря о таком наблюдателе, мы всегда имеем в виду, что в ИСО есть не один, а много покоящихся наблюдателей. Если угодно, в каждой точке координатной оси Х (если другие ИСО движутся в направлении этой оси) есть покоящийся наблюдатель. И у всех этих наблюдателей есть одинаково устроенные и синхронизированные в этой ИСО часы (о синхронизации часов см. ниже).

Таким образом, если происходит некоторое событие, то в момент его осуществления и в месте его осуществления всегда находится один из наблюдателей, покоящихся в рассматриваемой ИСО. Он может зафиксировать время осуществления события непосредственно по своим часам без того, чтобы учитывать время распространения сигнала, информирующего об осуществлении события.

Далее наблюдатели, покоящиеся в ИСО, могут "без спешки" обменяться информацией о месте и времени осуществления любого события. Заметим при этом: точки зрения всех наблюдателей, покоящихся в одной и той же ИСО, по поводу координат событий совпадают. Поэтому, говоря об одном наблюдателе, покоящемся в ИСО, мы имеем в виду совокупность всех наблюдателей, покоящихся в этой системе отсчета. И этому "обобщенному" наблюдателю нет необходимости учитывать время распространения сигнала о происходящих событиях в удаленных точках пространства. Именно  в этом "обобщенном" смысле мы и будем в дальнейшем употреблять выражение "наблюдатель, покоящийся в ИСО". При этом выражение "наблюдатель видит", если речь вести об одном конкретном наблюдателе, в каком-то смысле эквивалентно выражению "наблюдатель знает" (еще точнее: будет знать).

Второй фрагмент ([1], стр.57-59) с необходимыми комментариями (комментарии и комментируемые позиции набраны шрифтом красного цвета).

<Все обозначения рисунков, формул и пр. в этом фрагменте приведены как в работе [1], без изменений>

3. Переход из одной инерциальной системы отсчета в другую (физический смысл преобразований Лоренца)

Мы уже достаточно подробно проанализировали, что видят <в оговоренном ранее смысле> наблюдатели, переходя из одной системы отсчета в другую. Однако всякая новая задача будет требовать от нас не менее напряженного анализа (с возможностью ошибиться), если мы не систематизируем наши знания. Приведем лишь конечные результаты этой систематизации, не повторяя в подробностях то, что нам уже известно.

Итак, пусть наблюдатель А покоится в точке А инерциальной системы S и видит картину, изображенную на рисунке 13.

На этом рисунке изображен момент времени t_A, когда наблюдатель А видит два события [ВD] и [СE], происходящие на равном расстоянии L от наблюдателя А.

<В работе [1] принято для обозначения событий следующее: если событие состоит в пространственном совпадении точки А с точкой А', то такое событие обозначается "[АА']". (Точки В и D, а также С и E, как и оси X и X' на Рис. 13, можно считать совпадающими.) >

Кроме того, он видит показания часов, расположенных во всех обозначенных на рисунке точках. Пусть это будут показания t_A, t_B, t_C, t_D и t_E соответственно обозначениям точек.

Пусть в момент времени t_A, изображенный на рисунке, на наблюдателя А подействует мгновенный импульс силы в направлении оси X так, что в результате А попадет в некоторую точку системы S', движущейся в положительном направлении оси X со скоростью V (см. рис. 14). (Как вы понимаете, мысленный эксперимент допускает "мгновенный" переход тела на "нулевое" расстояние — оси Х и X' можно мыслить вообще совпадающими, — так как реальное время перехода из одной системы в другую можно сделать по сравнению с рассматриваемыми далее промежутками времени сколь угодно малым).

Оказывается, наш мир устроен таким образом, что после воздействия ускорения на наблюдателя А (приобретения им скорости по отношению к исходной системе отсчета), он видит, что события, которые в разноместных точках системы S были одновременными, в S' становятся неодновременными. Причем событие [ВD] (область отрицательных X) еще не произошло, а событие [СE] (область положительных X) уже произошло.

<Часы, покоящиеся в каждой из ИСО, синхронизированы, так что события [ВD] и  [СE] на Рис. 13 одновременны, поскольку t_B = t_C >

По-другому можно сказать, что все расстояния в исходной ИСО сжались, и теперь (в момент перехода) расстояния до точек В и С равны. Расстояния в новой ИСО, наоборот, увеличились, и теперь расстояния до точек D и E равны 

При этом значения показаний удаленных часов становятся следующими.

Теперь мы в состоянии, не допуская логических ошибок, проанализировать "парадокс" близнецов.

<Конец цитируемого фрагмента >

В дополнение к приведенным фрагментам хотелось бы разъяснить некоторые «тонкие» грани смысла обсуждаемых преобразований. (Для упрощения этих разъяснений, давайте договоримся, что когда я буду употреблять выражение: «часы С_А», речь будет идти о часах, покоящихся в некоторой ИСО в точке А, изображенной на обсуждаемом рисунке).

Прежде всего, поскольку мы говорим о физическом смысле преобразований Лоренца, следует ответить на вопрос: почему после перехода наблюдателя А из системы S в движущуюся относительно нее систему S', он видит, что на удаленных часах С_С и С_E, стрелки этих часов «перескакивают» на другие деления шкал без какого бы то ни было воздействия на эти часы и их стрелки (см. Рис 13 и Рис 14)? На самом деле ничто никуда не «перескакивает», а объясняется эта, кажущаяся парадоксальной, ситуация следующим образом.

Вспомним, что информация из удаленных от нас областей пространства не может поступить к нам мгновенно. Кроме того, у нас нет возможности измерить скорость любого объекта в одном направлении, если нет синхронизированных часов, а синхронизировать часы нет возможности, если по поводу скорости объекта, с помощью которого мы собираемся осуществлять синхронизацию часов, не сделано никаких предположений. Все это вынуждает нас как-то договориться о том, какие события, происходящие вдали друг от друга, следует считать одновременными, а какие нет. В СТО об этом договорились (см. конец поста  47,  и [2]).

 Следствием соглашений, принятых в СТО, является так называемая относительность одновременности: удаленные друг от друга события, одновременные в одной ИСО, не являются, вообще говоря, одновременными в другой ИСО. Например, если наблюдатель, покоящийся в системе S', будет следить за процедурой проведения синхронизации часов С_А  и  C_С, проводимой в системе S (см. Рис 13), то он обнаружит, что при синхронизации этих часов вначале устанавливаются, например, нулевые показания на часах C_С, а через время  (по часам C_С) — такие же нулевые показания устанавливаются на часах С_А. Естественно, при наблюдении из системы S' за подобной процедурой, проводимой в системе S, из системы S' будет видно, что часы C_С всегда опережают часы С_А как раз на величину

Таким образом, утверждение о том, что на часах, находящихся в удаленной от нас точке пространства, имеются некоторые конкретные показания времени, является не абсолютным, а относительным утверждением, справедливым «по-своему» для разных ИСО.

Можно сказать по тому же поводу еще и так: наши суждения о событиях, происходящих в удалении от нас одновременно с нашим текущим моментом времени, относятся к области наших знаний, которые относительны. Справедливость этих знаний не может быть установлена мгновенно, а только по истечении времени, необходимого для передачи информации о событии (о различии понятий «знание» и «информация» см. здесь). Но «относительность» знаний не есть их ошибочность, так как знание СТО позволяет делать верные прогнозы по поводу осуществления будущих событий в любой ИСО, а это все, что нужно от физической теории. Тем более что альтернатива может быть только одна (в силу приведенных выше обстоятельств по поводу ограничений, которые природа «наложила» на скорость объектов) — принять иные соглашения при синхронизации часов. К сожалению (или к счастью), никто еще не придумал соглашений, физически более приемлемых, чем это сделано в СТО (об одной такой альтернативе можно прочесть здесь).

В итоге ответ на поставленный выше вопрос таков: при переходе наблюдателя из одной ИСО в другую не стрелки удаленных часов «прыгают», а меняются знания «в голове» наблюдателя о положении этих стрелок.

Другой подход к ответу на этот вопрос дан в работе [3]. Там «скачки» показаний удаленных часов при смене систем отсчета рассматриваются в рамках общей теории относительности (при замене ускорений наблюдателя гравитационным полем, последнее, воздействуя на удаленные часы,  меняет темп их хода).

Еще один интересный вопрос связан с равноправностью ИСО, точнее, с их симметрией по отношению к происходящим событиям. Представим себе, что в ИСО S и S' покоятся наблюдатели A и A' соответственно, а в каждой точке осей Х и Х', имеются одинаково устроенные и заранее синхронизированные часы (см. Рис 2). 

Рис 2

В изображенный на Рис 2 момент времени (событие [AA']) все часы, покоящиеся на оси Х системы S, имеют нулевые показания с точки зрения наблюдателя А. Аналогично на всех часах, покоящихся на оси Х' системы S', — нулевые показания с точки зрения наблюдателя А'. Тогда в указанный момент времени наблюдатель А' видит показания часов, покоящихся на оси Х системы S своего визави, в соответствии с изображенным на Рис 2 «синим» графиком, определяемым уравнением

где скорость V и координата x — с учетом знака.

График («черный») показаний часов, покоящихся на оси Х' системы S', которые видит наблюдатель А, аналогичен уравнению (3), только вместо координаты x, естественно, имеется координата x' (см. Рис 2). То есть симметрия в том, что видят наблюдатели из «своих» ИСО, отраженная на Рис 2,  очевидна. Почему же у многих людей появляется законный вопрос: откуда, например, возникает разница в возрасте близнецов в известном «парадоксе», если в системе отсчета, в которую брат-близнец попадает после старта, все происходит с часами (со временем) точно так же, как и у брата-домоседа (при возвращении близнеца «домой» ситуация та же)?

При ответе на поставленный вопрос следует обратить внимание на то, что симметричная ситуация, приведенная на Рис 2, хоть и имеет место быть, практику расчетов будущих событий не затрагивает. В этом смысле разговоры о симметрии взглядов наблюдателей непродуктивны (см. также пост 27), так как эта симметрия никоим образом «не привязана» к конкретным событиям, а «физика» только с ними и имеет дело. Если мы выберем пару каких-нибудь конкретных событий, то сразу обнаружим, что «взгляд» на эти события (интервал времени между событиями, расстояние между ними) теряет, вообще говоря, симметрию (см. рис 3).

Рис 3

На Рис 3 изображен момент одновременного осуществления событий [AA'] и [CE] с точки зрения наблюдателя A, покоящегося в системе S. Часы, покоящиеся в точке C, с точки зрения наблюдателя A' имеют в указанный момент времени показания, равные    в точном соответствии с выражением (3), где L — собственное расстояние от наблюдателя A до точки C. Можно было бы опрометчиво подумать в связи с кажущейся «симметрией» взглядов наблюдателей A и A', что и наблюдатель A в этот же момент времени видит точно такие же показания часов (по модулю) в точке E. Однако когда выбраны конкретные события [AA'] и [CE], имеющие место быть в рассматриваемый момент времени только с точки зрения одного наблюдателя A, симметрия нарушается (для наблюдателя A' события [AA'] и [CE] не одновременны, см Рис 14). И поэтому мы имеем дело не с абстрактными переменными x и x', а с конкретными расстояниями, «привязанными» к выбранным событиям. В рассматриваемом случае

x= L — собственное расстояние от наблюдателя A до точки C,

x'=  — собственное расстояние от наблюдателя A' до точки E.

И поэтому наблюдатель А видит в момент времени, изображенный на Рис 3, следующее значение показаний часов C_E:

Естественно, если в момент осуществления события [AA'] наблюдатель A мгновенно «перейдет» из системы S в систему S', то он увидит то же самое, что видит и наблюдатель A': показания часов C_E (как и всех остальных, покоящихся на оси Х') равны нулю в полном соответствии с формулой (22).

Разумеется, при переходе наблюдателя A' из своей системы S' в систему S, он тоже обнаружит в  S нулевые показания всех часов, покоящихся на оси Х, в частности, часов C_C. При проверке этого обстоятельства следует пользоваться формулой (21), так как при указанном переходе наблюдателя A' часы C_C являются аналогом часов C_D (см. Рис 14) при переходе, описанном выше во фрагменте из работы  [1]. Понятно, что при этом все данные в формулу (21) должны быть подставлены корректно J.

В итоге ответ на поставленный выше вопрос: «почему возникает разница в возрасте близнецов после космического путешествия и возвращения домой одного из них?», если не анализировать детали, может быть только таким. Пространство и время представляют собой единую сущность, и асимметричное изменение пространственного расположения тел приводит к асимметрии и их временных характеристик. При этом анализ ситуации усложнен тем, что кажущиеся причины (в рамках выбранной математической модели СТО) относительны (они разные для наблюдателей, покоящихся в разных ИСО).

И последнее замечание, в немалой степени подтолкнувшее меня написать этот пост.

Если наблюдатель «мгновенно» переходит в другую ИСО (Рис 13 и 14), движущуюся относительно исходной со скоростью V, то, как мы видели, меняются знания наблюдателя о показаниях часов, покоящихся в движущейся системе и удаленных от наблюдателя.  Однако меняются не только показания часов, но и расстояния до них увеличивается в раз по сравнению со значением этих расстояний в исходной ИСО. Такое увеличение расстояний (расширение пространства) обусловлено тем, что эти расстояния наблюдаются из системы S сокращенными, а после перехода наблюдателя в систему S' «обретают» свой собственный размер. Можно было бы думать, что все это просто математические фокусы. Однако из этих «фокусов» следуют верные физические предсказания. Пусть, например, мы начали в некоторой ИСО ускорять жесткий стержень в направлении его продольной оси, приложив одновременно (с точки зрения исходной ИСО) ко всем его точкам одинаковые ускорения. Тогда такой стержень, переходя непрерывно во все новые и новые ИСО, будет деформирован именно в связи с предсказываемым «математическими фокусами» расширением пространства (см. парадокс Белла). Соотношение между ускорениями разных точек стержня, гарантирующее отсутствие его деформаций, приведено в работе [4] (или см. пост 19), а одно из доказательств этого соотношения, основанное на идее реальности лоренцева сокращения для того, кто это сокращение наблюдает, см., например,  здесь.

Литература

1.      Алескер М. «Парадоксы» относительности //(Нарва: Koit, 2006)

2.      Эйнштейн А Теория относительности //В кн.: Собр научн трудов 1 181 (М.: Наука, 1965)

3.      Меллер К. Парадокс часов //В кн.: Эйнштейновский сборник 1968  230 (М.: Наука, 1968).

4.      Алескер М. О принципе эквивалентности //Ж-л ВАНТ (Вести Атомной Науки и Техники) №3, серия "Теоретическая и прикладная физика" (М.: Атомиздат, 1992)

  .