Я
расскажу здесь о том, какие трудности могут возникнуть при попытке заглянуть в
мир науки, и сколько времени приходится тратить для получения хотя бы малой
толики знаний.
В постах №53 и №66 я «угрожал» обсудить понятие «состояние квантового
объекта». Угроза остается в силе, правда не уверен, что успею исполнить ее в
этом зимнем сезоне. Ведь прежде, чем о чем-то внятно написать, надо самому
досконально в этом разобраться. И вот я обложился имеющимися в моей библиотеке
учебниками Ландау, Фейнмана, Орира, Купера и т.д., скачал из интернета
несколько учебников по квантовой механике (особенно рекомендую М. Г.
Иванов Как
понимать квантовую механику , 498
страниц) и начал интересоваться описанием понятия «состояние» в этих учебниках.
(Далее можно не читать текст, выделенный
темно-красным цветом, если
он по каким-либо причинам не сразу понятен).
В лекциях Фейнмана [1] пришлось на несколько
дней задержаться на вопросе: какова амплитуда того, что частица,
обладающая спином ½ и поляризованная «вверх» относительно оси A,
окажется в состоянии «вверх» относительно оси z, и какова амплитуда
обнаружить эту же частицу в состоянии «вниз» относительно оси z? Фейнман сразу же указал, как надо поступить, чтобы
ответить на этот вопрос, и тут же привел необходимые соотношения для искомых
амплитуд (см. [1], фиг. 4.10, формулы 4.36, с. 104-106, а также см. рисунок, приведенный ниже). Однако
меня заинтересовали более общие соотношения (заинтересовала полная
матрица перехода от оси A к оси z
для произвольного состояния частицы, а не только частицы, поляризованной
«вверх» относительно оси A). И поскольку инструкция, как поступить, чтобы найти нужные
соотношения, Фейнманом была дана, я тут же приступил к реализации этой
инструкции.
Каково же было мое изумление, когда, сделав
необходимые повороты координатных осей и выписав вытекающие из этих поворотов
соотношения, я обнаружил, что формулы 4.36, приведенные Фейнманом, не
соответствуют найденным мной. Первое, что обычно в таких случаях приходит мне в
голову, это то, что я, по крайней мере, невнимателен (во время «поворотов в
голове» координатных осей). Тем более, Фейнман тоже заметил, что мы, люди, не
приспособлены в своей голове «вертеть» координатные системы, не впадая в ошибки.
«Не правда ли, странно, — говорит Фейнман, — что, живя в трех измерениях, мы
все же с трудом воспринимаем, чтó произойдет, если сперва повернуться так, а
потом еще как-нибудь. Вероятно, если бы мы были птицами или рыбами…и т.д.» ([1],
с. 101). И я повторил вычисления многократно, не заглядывая в предыдущие
записи. Итог тот же — формулы 4.36 лекций не совпадают с выводимыми мной (значит,
нет доверия и к полной проекционной матрице, которую я получаю при вычислениях).
Возможные причины возникшего противоречия таковы
(начиная с наиболее вероятных причин):
- ошибки в вычислениях (моих),
- что-то напутано в методике вычислений,
предложенной в лекциях,
- поскольку итоговые формулы 4.36 приведены сразу, без
вычислений, постольку они могут содержать ошибку при их переписи из
первоисточника.
И я стал анализировать эти причины.
Искать ошибки в своих вычислениях, решил я,
было бы глупо, так как этим я уже много занимался, и вернуться к этому вопросу
целесообразно лишь после того, как будут исключены остальные возможности. Я
решил немного передохнуть, и продолжить чтение лекций. Это было верным решением,
так как мне сразу повезло: на странице 202 я обнаруживаю формулу (8.31),
полностью совпадающую с формулой (4.36), и, о счастье! есть возможность
полностью проследить ее вывод несколько иным способом, чем это было сделано
раньше (когда в голове «вращались» координатные системы). Разумеется, я тут же
проследил в подробностях за выводом формулы (8.31), убедился в том, что он
верен, и, значит, третья причина отпадает — формулы (4.36), приведенные
Фейнманом без вывода, верны. То есть, либо я все же ошибся в вычислениях, либо
ошибочна методика, которой я следовал при проведении вычислений.
Что касается этой методики, то она столь прозрачна в
смысле того, что надо сделать, что тут не согласиться с этой методикой просто
нельзя, а ошибка могла состоять только в знаке угла поворота координатных
систем. Не буду утомлять вас подробностями того, как я выяснил правильные знаки
этих углов, а сообщу сразу итог: на странице 104 упомянутых лекций имеется
опечатка (даже две), которая и привела к потере так недостающего времени,
которое можно было бы употребить на более важные дела.
Чтобы завершить эту тему, я приведу
во-первых, обсуждаемую
злополучную опечатку;
во-вторых, оригинальный
(из лекций) рисунок 4.10, и рисунок, дополненный для большей ясности осями z' и x', о которых Фейнман
говорит, но на фигуре 4.10 они не изображены;
в-третьих, найденные
соотношения между амплитудами для перехода от произвольного состояния частицы в
базисе ±A к состоянию в базисе ±z. (О состояниях
и базисах мы поговорим в других
постах).
Итак, на стр. 104, пятая строка снизу,
напечатано (опечатки выделены синим цветом): «Во-первых, надо
сделать поворот на —π/2 вокруг
оси A, что переведет ось x в линию B на рисунке. Затем
повернуть на —θ вокруг
линии B (вокруг
новой оси x' системы
A), чтобы ось A
попала на ось z».
Должно же быть напечатано так (изменения
отображены синим цветом): «Во-первых, надо сделать поворот
на —π/2 вокруг оси A, что
переведет ось x' в
линию B на рисунке. Затем повернуть на +θ вокруг
линии B (вокруг
новой оси x' системы
A), чтобы ось A
попала на ось z».
Вот рисунки, на которых все это можно
посмотреть:
Наконец,
если произвольное состояние |Ψ'> частицы
в базисе |+z'> и |-z'> есть
|Ψ'> = C+' |+z'> + C-' |-z'>,
а
вектор состояния |Ψ> частицы в базисе
|+z> и |-z>
равен
|Ψ> = C+ |+z'> + C- |-z'>,
то связь амплитуд перехода от одного состояния к другому дается
формулами:
Собственно, последние соотношения — это все, что я хотел
найти. Кстати, если эти соотношения подробно не расписывать, а
представить в общем виде с коэффициентами α, β, γ и δ так:
то эти
коэффициенты должны удовлетворять равенствам (см. [2], стр. 148):
αδ – βγ = 1
α = δ*, β = -γ*.
Символ «*» в этих
равенствах означает комплексное сопряжение, а сами равенства легко проверить,
подставив в них соответствующие коэффициенты из найденных соотношений, и
убедиться в том, что соотношения верны, иначе
говоря, опечатки имеют место быть.
Однако возникают новые вопросы. Неужели обнаруженные мной
опечатки с 1963 года (когда были изданы лекции издательством Addison-Wesley Publishing Company в
английском варианте) за столь длительное время не были обнаружены? Или с 1978
года (Издательство «Мир», Москва, русский перевод лекций)? А, быть может, это
не опечатки вовсе, а небрежность автора?
Чтобы
ответить на эти вопросы я «полез» в интернет, и отсюда скачал 8 том
лекций, где обнаружил, что в интернетовской копии на русском языке ничего не
исправлено — те же опечатки, что и в издании 1978 года.
Надо было срочно «добыть» оригинальный
англоязычный текст лекций. И тут я вновь, но теперь уже по своей глупости,
потерял массу времени. Потому что при скачивании лекций с сайта eBookBrowse, пренебрег
предупреждениями моего «антивирусника»: какие вирусы могут быть на подобных
порталах, думал я? Никогда не считайте, будто бы вы умней антивирусной
программы!!! Мне из-за своей глупости пришлось не менее четырех часов «чистить»
компьютер несколькими мощными программами, уничтожающими «шпионов». Зачем,
подумал я, шпионов засылают при скачивании лекций Фейнмана? Единственный ответ,
который пришел мне в голову, таков: «они» думают, что люди, интересующиеся
наукой, очень богаты, и вскрыв банковские реквизиты этих людей, можно поживиться.
Как «они» ошибаются!
Но я отвлекся. В интернете можно найти все (что люди там разместили). И вот здесь
я обнаружил полный англоязычный вариант лекций от 1963 года без всяких вирусов!
Так что, если вам понадобятся эти лекции на английском языке, можете здесь
и «кликнуть».
Какова же была моя радость, когда я обнаружил, что
«главной» опечатки в оригинальном варианте лекций нет (она появилась только в
русском переводе). Значит, я был внимателен при чтении лекций, что приятно J. Вот фрагмент оригинального текста:
Однако, как видно из этого фрагмента, и английский
вариант не избежал опечаток при типографском наборе текста (автору я полностью
доверяю J). Ведь утверждение, будто бы
«поворот на —π/2 вокруг оси A, что
переведет ось x в
линию B на рисунке» (which brings the x-axis into the line B in the figure), ошибочно. Потому что поворот вокруг
оси A не
переводит ось x в линию B,
а поворачивает лишь оси x' и z' (и не изображенную на рисунке ось y', см. рисунок).
Ну вот, с опечатками разобрались, эти мелкие трудности
устранены, и теперь я почти готов к новым
испытаниям — изучению и обсуждению (на
чистом и понятном русском языке J) того, что называют «состоянием квантового объекта».
Почему я сказал «почти»? Потому что
чувствую, что без предварительного обсуждения старого вопроса о том, что есть
реальность, говорить о «состоянии», не задумываясь над вопросом, реально оно
или нет, по-видимому, бессмысленно.
Литература
1. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Квантовая механика //В кн.: Фейнмановские лекции по
физике 8-9 (М.: Мир, 1978)
2. Ландау
Л., Лифшиц Е. Квантовая механика //В
кн.: Краткий курс теоретической физики
2 (М.: «Наука», 1972)
