71. Опечатки

Я расскажу здесь о том, какие трудности могут возникнуть при попытке заглянуть в мир науки, и сколько времени приходится тратить для получения хотя бы малой толики знаний.

В постах №53 и №66 я «угрожал» обсудить понятие «состояние квантового объекта». Угроза остается в силе, правда не уверен, что успею исполнить ее в этом зимнем сезоне. Ведь прежде, чем о чем-то внятно написать, надо самому досконально в этом разобраться. И вот я обложился имеющимися в моей библиотеке учебниками Ландау, Фейнмана, Орира, Купера и т.д., скачал из интернета несколько учебников по квантовой механике (особенно рекомендую М. Г. Иванов  Как понимать квантовую механику , 498 страниц) и начал интересоваться описанием понятия «состояние» в этих учебниках.  (Далее можно не читать текст, выделенный темно-красным цветом, если он по каким-либо причинам не сразу понятен).

В лекциях Фейнмана [1] пришлось на несколько дней задержаться на вопросе: какова амплитуда того, что частица, обладающая спином ½ и поляризованная «вверх» относительно оси A, окажется в состоянии «вверх» относительно оси z, и какова амплитуда обнаружить эту же частицу в состоянии «вниз» относительно оси z? Фейнман сразу же указал, как надо поступить, чтобы ответить на этот вопрос, и тут же привел необходимые соотношения для искомых амплитуд (см. [1], фиг. 4.10, формулы 4.36, с. 104-106, а также см. рисунок, приведенный ниже). Однако меня заинтересовали более общие соотношения (заинтересовала полная матрица перехода от оси A к оси z для произвольного состояния частицы, а не только частицы, поляризованной «вверх» относительно оси A). И поскольку инструкция, как поступить, чтобы найти нужные соотношения, Фейнманом была дана, я тут же приступил к реализации этой инструкции.

Каково же было мое изумление, когда, сделав необходимые повороты координатных осей и выписав вытекающие из этих поворотов соотношения, я обнаружил, что формулы 4.36, приведенные Фейнманом, не соответствуют найденным мной. Первое, что обычно в таких случаях приходит мне в голову, это то, что я, по крайней мере, невнимателен (во время «поворотов в голове» координатных осей). Тем более, Фейнман тоже заметил, что мы, люди, не приспособлены в своей голове «вертеть» координатные системы, не впадая в ошибки. «Не правда ли, странно, — говорит Фейнман, — что, живя в трех измерениях, мы все же с трудом воспринимаем, чтó произойдет, если сперва повернуться так, а потом еще как-нибудь. Вероятно, если бы мы были птицами или рыбами…и т.д.» ([1], с. 101). И я повторил вычисления многократно, не заглядывая в предыдущие записи. Итог тот же — формулы 4.36 лекций не совпадают с выводимыми мной (значит, нет доверия и к полной проекционной матрице, которую я получаю при вычислениях).

Возможные причины возникшего противоречия таковы (начиная с наиболее вероятных причин):

- ошибки в вычислениях (моих),

- что-то напутано в методике вычислений, предложенной в лекциях,

- поскольку итоговые формулы 4.36 приведены сразу, без вычислений, постольку они могут содержать ошибку при их переписи из первоисточника.

И я стал анализировать эти причины.

Искать ошибки в своих вычислениях, решил я, было бы глупо, так как этим я уже много занимался, и вернуться к этому вопросу целесообразно лишь после того, как будут исключены остальные возможности. Я решил немного передохнуть, и продолжить чтение лекций. Это было верным решением, так как мне сразу повезло: на странице 202 я обнаруживаю формулу (8.31), полностью совпадающую с формулой (4.36), и, о счастье! есть возможность полностью проследить ее вывод несколько иным способом, чем это было сделано раньше (когда в голове «вращались» координатные системы). Разумеется, я тут же проследил в подробностях за выводом формулы (8.31), убедился в том, что он верен, и, значит, третья причина отпадает — формулы (4.36), приведенные Фейнманом без вывода, верны. То есть, либо я все же ошибся в вычислениях, либо ошибочна методика, которой я следовал при проведении вычислений.

Что касается этой методики, то она столь прозрачна в смысле того, что надо сделать, что тут не согласиться с этой методикой просто нельзя, а ошибка могла состоять только в знаке угла поворота координатных систем. Не буду утомлять вас подробностями того, как я выяснил правильные знаки этих углов, а сообщу сразу итог: на странице 104 упомянутых лекций имеется опечатка (даже две), которая и привела к потере так недостающего времени, которое можно было бы употребить на более важные дела.

Чтобы завершить эту тему, я приведу

во-первых, обсуждаемую злополучную опечатку;

во-вторых, оригинальный (из лекций) рисунок 4.10, и рисунок, дополненный для большей ясности осями z' и x', о которых Фейнман говорит, но на фигуре 4.10 они не изображены;

в-третьих, найденные соотношения между амплитудами для перехода от произвольного состояния частицы в базисе ±A к состоянию в базисе ±z. (О состояниях и базисах мы поговорим в других постах).

Итак, на стр. 104, пятая строка снизу, напечатано (опечатки выделены синим цветом): «Во-первых, надо сделать поворот на —π/2 вокруг оси A, что переведет ось x в линию B на рисунке. Затем повернуть на —θ вокруг линии B (вокруг новой оси x' системы A), чтобы ось A попала на ось z».

Должно же быть напечатано так (изменения отображены синим цветом): «Во-первых, надо сделать поворот на —π/2 вокруг оси A, что переведет ось x' в линию B на рисунке. Затем повернуть на +θ вокруг линии B (вокруг новой оси x' системы A), чтобы ось A попала на ось z».

Вот рисунки, на которых все это можно посмотреть:

Наконец, если произвольное состояние |Ψ'> частицы в базисе  |+z'> и  |-z'> есть

|Ψ'> = C₊' |+z'> + C_-' |-z'>,

а вектор состояния |Ψ> частицы в базисе  |+z> и  |-z> равен

|Ψ> = C₊ |+z'> + C_- |-z'>,

то связь амплитуд перехода от одного состояния к другому дается формулами:

Собственно, последние соотношения — это все, что я хотел найти. Кстати, если эти соотношения подробно не расписывать, а представить в общем виде с коэффициентами α, β, γ и δ так:

то эти коэффициенты должны удовлетворять равенствам (см. [2], стр. 148):

αδ – βγ = 1

α = δ*, β = -γ*.

Символ «*» в этих равенствах означает комплексное сопряжение, а сами равенства легко проверить, подставив в них соответствующие коэффициенты из найденных соотношений, и убедиться в том, что соотношения верны, иначе говоря, опечатки имеют место быть.

Однако возникают новые вопросы. Неужели обнаруженные мной опечатки с 1963 года (когда были изданы лекции издательством Addison-Wesley Publishing Company в английском варианте) за столь длительное время не были обнаружены? Или с 1978 года (Издательство «Мир», Москва, русский перевод лекций)? А, быть может, это не опечатки вовсе, а небрежность автора?

Чтобы ответить на эти вопросы я «полез» в интернет, и отсюда скачал 8 том лекций, где обнаружил, что в интернетовской копии на русском языке ничего не исправлено — те же опечатки, что и в издании 1978 года.

Надо было срочно «добыть» оригинальный англоязычный текст лекций. И тут я вновь, но теперь уже по своей глупости, потерял массу времени. Потому что при скачивании лекций с сайта eBookBrowse, пренебрег предупреждениями моего «антивирусника»: какие вирусы могут быть на подобных порталах, думал я? Никогда не считайте, будто бы вы умней антивирусной программы!!! Мне из-за своей глупости пришлось не менее четырех часов «чистить» компьютер несколькими мощными программами, уничтожающими «шпионов». Зачем, подумал я, шпионов засылают при скачивании лекций Фейнмана? Единственный ответ, который пришел мне в голову, таков: «они» думают, что люди, интересующиеся наукой, очень богаты, и вскрыв банковские реквизиты этих людей, можно поживиться. Как «они» ошибаются!

Но я отвлекся. В интернете можно найти все (что люди там разместили). И вот здесь я обнаружил полный англоязычный вариант лекций от 1963 года без всяких вирусов! Так что, если вам понадобятся эти лекции на английском языке, можете здесь и «кликнуть».

Какова же была моя радость, когда я обнаружил, что «главной» опечатки в оригинальном варианте лекций нет (она появилась только в русском переводе). Значит, я был внимателен при чтении лекций, что приятно J. Вот фрагмент оригинального текста:

Однако, как видно из этого фрагмента, и английский вариант не избежал опечаток при типографском наборе текста (автору я полностью доверяю J). Ведь утверждение, будто бы «поворот на —π/2 вокруг оси A, что переведет ось x в линию B на рисунке» (which brings the x-axis into the line B in the figure), ошибочно. Потому что поворот вокруг оси A не переводит ось x  в линию B, а поворачивает лишь оси x' и z' (и не изображенную на рисунке ось y', см. рисунок).

Ну вот, с опечатками разобрались, эти мелкие трудности устранены, и теперь я почти готов к новым испытаниям — изучению и обсуждению (на чистом и понятном русском языке J) того, что называют «состоянием квантового объекта». Почему я сказал «почти»? Потому что чувствую, что без предварительного обсуждения старого вопроса о том, что есть реальность, говорить о «состоянии», не задумываясь над вопросом, реально оно или нет, по-видимому, бессмысленно.

Литература

1.      Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Квантовая механика //В кн.: Фейнмановские лекции по физике 8-9  (М.: Мир, 1978)

2.      Ландау Л., Лифшиц Е. Квантовая механика //В кн.: Краткий курс теоретической физики 2 (М.: «Наука», 1972)