66. Квантовая механика и классическая. Часть 2.

Продолжение. Начало см. пост№ 53.

Здесь поговорим о понятии «состояние» объекта в классической физике. Вообще говоря, об этом понятии  говорится в сотнях учебников, и оно известно большинству людей.  Одни познакомились с этим понятием еще в школе, другие, учась в институте. А некоторые, отправляясь на рыбалку, брали с собой учебник по теоретической механике, и в перерыве между поклевками, заглядывали в него, чтобы вспомнить что-нибудь о функции Лагранжа. Так что обсуждение всем известного понятия — довольно глупое дело. Однако я хотел бы подчеркнуть различия, которые имеют место быть в «состояниях» классических и квантовых объектов, а для этого нужно создать прямо здесь (а не в учебниках и не в головах знающих людей) некий «классический» фон, на котором особенности «состояний» квантовых объектов проявятся четче. Так что те, кто знаком с этой темой, могут далее не читать. А я перед созданием  «классического» фона рассмотрю с оставшимися читателями мысленный эксперимент, который, разумеется, условен, но основную особенность отличий состояний классических и квантовых объектов сможет продемонстрировать.

Изготовим трубу, внутри которой по всей длине установим, скажем, три перегородки с отверстиями. Пусть эти отверстия перекрывают друг друга так, что камешек (шарик, пуля и т.п.), брошенный в трубу, если ему повезет, сможет беспрепятственно пролететь «навылет», не столкнувшись с перегородками (другой брошенный камешек, которому не повезет, столкнется с какой-нибудь перегородкой и застрянет в трубе). Кроме того, перегородки и отверстия в трубе подобраны так, что не только некоторые камешки, но и некоторые микрочастицы пролетают сквозь трубу «навылет». Если «приготовить» специальной электронной пушкой поток этих микрочастиц в так называемом чистом состоянии, о котором будем говорить позже, то вообще весь поток частиц беспрепятственно будет пролетать через трубу.

Теперь внимание! Принципиальную разницу в состояниях «камешков» (классических объектов) и микрочастиц (квантово-механических объектов) мы обнаружим, убрав среднюю перегородку в трубе. Тогда некоторые камешки, брошенные в эту модернизированную трубу, будут по-прежнему пролетать через нее насквозь (понятно, что сделать им это даже легче, ведь перегородок стало меньше!), а вот микрочастицы, находящиеся в том же чистом состоянии, что и прежде, преодолеть оставшиеся две перегородки никогда не смогут.  Как же раньше они «справлялись» не только с этими двумя, но еще и с третьей перегородкой, когда она была установлена? Подробно это разъясняется, например, в лекциях по физике Фейнмана [1].

Итак, начнем создавать «классический» фон, рассмотрев представления о понятии «состояние», используемые в быту и в классической механике.

Вспомним о картинках, иногда публикуемых в детских журналах с просьбой найти в них различия (для развития детского внимания и пр.). Чем больше различий ребенок найдет, тем он внимательней. Но вот, если вторая из двух картинок является точной копией первой картинки, то различий в них обнаружено быть не может (за исключением, пожалуй, того, что эти картинки напечатаны в разных местах). В таком случае мы говорим: состояние первой картинки такое же, как и второй. И вообще состояние некоторой системы характеризуется определенным набором признаков, которые могут быть изменены (и тогда состояние системы меняется). Рассмотрим, что же придумали физики, чтобы следить за состоянием (описывать его) классической макроскопической системы.

Первый пример. Пусть система состоит из двух не связанных друг с другом точек. Тогда признаки, которые могут измениться и тем самым поменять состояние системы —координаты этих точек и их скорости (если точки материальны, скорости заменяют импульсами). Совокупность признаков, способных изменить свое значение, называют обобщенными координатами, а их количество — количеством степеней свободы системы. Так что наша система, состоящая из двух точек, имеет двенадцать степеней свободы, по шесть степеней для каждой точки: три возможных перемещения точки вдоль координатных осей (три проекции вектора перемещения) и три проекции импульса на координатные оси.

Далее. Координатную систему, построенную на осях, каждая из которых соответствует одной из обобщенных координат, называют фазовым пространством. Совокупность координат каждой точки этого пространства представляют собой, таким образом, полный набор признаков, характеризующих состояние системы в данной точке. Иначе говоря, каждая точка этого пространства отражает определенное состояние системы, а изменение состояния во времени представляется движением этой точки по некоторой траектории (эту траекторию называют фазовой траекторией). Разумеется, чтобы знать координаты и импульсы, надо их измерить (или вычислить по вначале измеренным данным). Измерения всегда вносят погрешность, так что обобщенные координаты, используемые при расчетах, лежат в некоторых интервалах их вероятных значений. Поэтому в общем случае система в фазовом пространстве представлена не одной точкой, а «облаком» ее вероятных состояний.

Второй пример. Он демонстрирует нам, что в качестве координат в фазовом пространстве могут служить такие сущности, непохожие на «координаты», как, например, вероятности.

Есть различные игры в «кости». При бросании игральной кости  возможно шесть исходов — выпадение цифр n=1,2,3,4,5 или 6 на верхней грани (или соответствующее число выгравированных углублений). «Правильная» кость должна быть изготовлена так, чтобы при ее бросании, скажем, на стол, вероятность выпадения любого из чисел равнялась одной шестой. В теории игр (теории вероятностей) совокупность всех исходов бросаний кости называют пространством элементарных событий. (Возможны и составные события, например, при бросании нескольких игральных костей, но мы не будем в эти вопросы углубляться). И тогда можно говорить о «состоянии» кости, как о наборе значений вероятностей выпадения каждой из граней. В случае равновероятных исходов эта совокупность такая:

Ω ≡ (1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6).

Однако мошенник может изготовить фальшивую кость, утяжеляя или облегчая материал вблизи той или иной грани, и тогда выпадение цифр при бросании кости станет не равновероятным, например, таким:

Ω ≡ (1/6, 1/6, 1/6, 1/5, 1/5, 1/10).

 Зная  «состояние» кости, мошенник сможет извлечь выгоду при игре в кости.

Мы видим, что в данном примере каждому событию (при бросании кости) соответствует некоторая вероятность его реализации  p_n (n = 6), а совокупность Ω всех этих вероятностей описывает состояние кости. Иначе говоря, параметры, описывающие состояние объекта, могут быть выбраны не все: в данном примере нас не интересует, например, место (координата), куда упала кость и пр. И тогда можно отображать каждое возможное состояние в виде точки в воображаемом n-мерном вероятностном пространстве состояний, откладывая вдоль осей этого пространства значения p_n.

Третий пример. Это пример любой термодинамической системы, близкой к равновесию (газ, вода и пр.). В этом случае есть три параметра, характеризующие состояние системы: температура, давление и объем. Так что система может быть отображена точкой в трехмерном пространстве, но это, несмотря на количественное совпадение осей координат с обычным пространством, не реальное, а абстрактное пространство, на осях которого откладываются значения температуры, давления и объема.

Таким образом, состояние классической системы описывается единственной точкой (или «облаком» точек) в абстрактном многомерном фазовом пространстве. Число измерений этого пространства равно числу параметров, описывающих систему. При изменении состояния системы в фазовом пространстве остается «след» от перемещения точки по фазовому пространству — фазовая траектория (или след от «облака»). И, наконец, надо сказать еще следующее: состояние классической системы не зависит от того, наблюдаем мы за ней или нет.

Пожалуй, ничего более о состоянии классических объектов в этой теме нам знать не надо, а о «состоянии» квантовых систем и их математическом описании поговорим в других постах.

Продолжение следует.

Литература

1.      Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Квантовая механика //В кн.: Фейнмановские лекции по физике 8-9 57-71 (М.: Мир, 1978)