73. Квантовая механика. Состояния: чистое и смешанное, собственное и базисное. Часть 3.

Я хотел, чтобы большинство из вас смогло оценить красоту нашего прекрасного мира и вместе с тем получить физическое представление о мире, которое, я думаю, составляет сейчас главную часть истинной культуры нашей эпохи. (Вероятно, найдутся преподаватели других дисциплин, которые захотят что-то возразить, но я-то знаю, что они абсолютно неправы).

Ричард Фейнман

Продолжение. Начало см. посты №53, №66 и №72.

О практической ценности квантовой механики Ричард Фейнман сказал следующее: «Квантовая механика, открытая в 1926 г., имела за своими плечами почти 40 лет развития, когда вдруг внезапно она получила множество реальных практических применений. Как-то сразу появилась возможность крайне деликатно и тонко управлять природой. И должен вам сообщить, джентльмены, как это ни прискорбно, что для того, чтобы принять в этом участие, вам абсолютно необходимо как можно быстрее изучить квантовую механику» ([1], стр. 519).

Конечно, Фейнман обращался, прежде всего, к молодым людям. Но заглянуть в удивительный мир квантовой механики, не изучая его, может все же каждый, и мы это сделаем, если нам удастся разобраться с понятием «состояние квантового объекта». Разумеется, как и в случае подобного понятия для классических объектов, есть много учебников, в которых имеются необходимые  разъяснения. Когда я их читал, то поначалу изложение интересующего меня материала не воспринималось и приходилось обращаться к другим источникам, чтобы с иных позиций прояснить ситуацию. По-видимому, я тупой, но подозреваю, что таких людей, как я, много J, и пишу я для них, впрочем, и для себя тоже, потому что окончательное понимание приходит только после того, как мысли изложены на бумаге. Все же заранее прошу прощения, если мое изложение темы окажется понятным только для меня самого.

Прежде, чем приступить собственно к обсуждению понятия «состояние квантового объекта», необходимо напомнить следующее.

Наш опыт детства говорит нам о том, что любой предмет может быть расчленен на части, и еще о том, что мяч, шарик, камешек и т.д. находятся там, куда их положили, если плохой братик не «умыкнул» их в другое место. Кроме перемещения предметов из одного места в другое, наблюдаем мы в детстве и другую форму движения. Это когда смотрим на волны в луже или еще где-нибудь. В этом случае частицы вещества лишь колеблются, не перемещаясь далеко от места, где они находятся, а волны движутся вдаль в пространстве и времени, складывая амплитуды колеблющихся частиц при встрече волн. И все. Своими органами чувств человек не может наблюдать ничего иного, кроме классических объектов и классических форм их движения, даже если в природе и существуют какие-нибудь иные «забавные» объекты и движения. Даже если мы оснащены приборами, обостряющими наши органы чувств (микроскопы, телескопы, томографы и пр.), наблюдаемые с помощью этих приборов явления (события) носят исключительно классический характер.

Но вот физики, исследуя атомы вещества, обнаружили, что атомы и составляющие их части ведут себя не по классическим правилам — в одних экспериментах они частицы, в других — волны. Понятно, что объектов, наделенных такими противоречивыми свойствами, в природе быть не может — противоречие может возникнуть только в голове человека. Поэтому не будем говорить, будто микрочастицы являются волной и частицей одновременно (и даже будто бы они в одном эксперименте частицы, а в другом —  волны), а скажем так: микрочастицы не волны, и не частицы. (Тем самым с противоречием в нашей голове мы справились J). Но что же тогда они собой представляют? Этот вопрос в данном контексте эквивалентен, пожалуй, другому вопросу: что же такое «состояние» микрочастицы?

Начнем наш экскурс в квантовую механику с упомянутого уже (см. пост №66) чистого состояния квантового объекта. Смысл этого состояния может быть  понят после прочтения лекций Фейнмана [1], где, правда, затрагиваются и иные вопросы, которые могут помешать восприятию этого смысла. Мы не будем касаться лишнего, а сосредоточим свое внимание только на интересующем нас вопросе — понятии состояния квантового объекта.

Для упрощения изложения предположим, что у нас имеются одинаковые частицы, «поведение» (состояние) которых характеризуется только одним параметром, могущим при его измерении принимать два значения (этого достаточно, чтобы понять основные идеи). Например, пусть это будут электроны, у которых нас будет интересовать единственная характеристика — спин, способная при измерении принимать только два значения. Чтобы не заморачиваться на том, что такое спин электрона, откуда он взялся и пр., мы вообще будем вести далее речь не об электроне, а об Оловянном солдатике, который легко представить себе находящимся в двух состояниях – либо он стоит, либо лежит. И посмотрим, что будет с этим солдатиком твориться, если его «поведение» будет как у электрона.

Предположим, что у нас имеется непрозрачная сфера, с одной стороны которой есть вход, куда солдатики некоторой дивизии могут заходить, а с другой стороны есть выход, через который солдатики могут сферу покинуть. Внутри сферы имеются кровати, на которых солдатики могут после долгого похода отдохнуть, а особенно выносливые не ложатся, а отдыхают стоя. Командир дивизии (генерал-майор), зная физическую и моральную подготовку своих солдат, перед входом в сферу, отдает один из возможных приказов: «войдя в сферу, всем стоять!», или «всем отдыхать на койках!». А самый демократичный командир предлагает либо стоять, либо отдыхать, лежа в койках, — кому как заблагорассудится. И пусть солдатики, которые во время нахождения внутри сферы все время стояли, покидают сферу через первый выход, а которые лежали — через второй выход (чтобы командир дивизии на выходе сферы мог оценить своих солдат по их физическим и морально-волевым качествам — в квантовой механике такое разделение солдатиков называют «приготовлением» их состояния).

Пусть, наконец, по всей сфере, сверху и снизу, слева и справа, спереди и сзади есть огромное количество маленьких окон, через которые мы можем заглянуть и увидеть, в каком же состоянии находятся солдатики, стоят они или лежат.

Оказывается, если солдатики «ведут» себя как электроны, то, заглядывая в разные окна, имеющиеся на сфере, мы будем наблюдать и разную картину. Например, если некоторый солдатик в одном окне виден «стоячим» (состояние «1»), то в другом окне он может оказаться «лежачим» (состояние «2»). Может встретиться даже такое окно, через которое видно, что все солдатики находятся в одном и том же состоянии (тогда другого подобного окна нет).

Состояния «1» и «2», в которых можно обнаружить солдатика, называют базисными состояниями (чуть ниже я уточню это определение). Поскольку через разные окна может наблюдаться, что один и тот же солдатик находится то в состоянии «1», то в состоянии «2», то возникает вопрос, как так может быть, если сам солдатик по своей воле своего состояния не меняет (если стоит, то стоит, а если лег, то уже не встает)? Тут особого выбора ответить на этот вопрос нет. Просто мы не можем говорить о том, будто бы у солдатика есть конкретное состояние «1» или «2» на самом деле. На самом деле он находится в этих состояниях одновременно (так уж устроен наш солдатик-электрон!). В квантовой механике говорят, что он находится в суперпозиции своих возможных состояний. А то состояние, которое мы наблюдаем через конкретное окно (конкретным прибором), есть результат перехода суперпозиции в одно из своих собственных состояний «1» или «2». Сейчас я назвал состояния «1» и «2» собственными, а чуть выше определил их как базисные состояния. Разница тут есть, и заключается она в том, что понятие базисного состояния более общее, чем понятие собственного состояния.

Разберемся с базисными состояниями подробней. Их можно определить как собственные состояния относительно выбранного окна сферы (относительно выбранного прибора). То есть если собственных состояний в нашем примере два («1» и «2»), то базисных состояний может быть сколько угодно (столько, сколько имеется на сфере окон). И было бы разумно для обозначения базисных состояний ввести индексы, обозначающие то окно, через которое мы наблюдаем за собственными состояниями (за собственными значениями измеряемой величины, как говорят в квантовой механике). Например, если окна (приборы), через которые мы наблюдаем, пронумерованы цифрами 1, 2, … i,…, то базисные состояния, относящиеся к i-тому окну, можно обозначить так: «1_i» и «2_i». При этом окно сферы, из которого открывается конкретный вид на состояния солдатиков, вместе с выбранными собственными состояниями называют тем или иным представлением. А что, разве собственные состояния можно выбирать, разве это не состояния «стоя» и «лежа»? Можно выбирать, потому что существуют и другие «параметры» солдатиков, которыми мы можем заинтересоваться.

Например, мы можем заинтересоваться вопросом, в какой из двух комнат находится тот или иной солдатик, если внутри сферы имеются две отдельные комнаты (и совсем не интересоваться тем, лежат солдатики или стоят). Тогда обнаружение солдатика в первой комнате — это его состояние «1», а обнаружение солдатика во второй комнате — состояние «2». И тогда все, что говорилось о состояниях «стоя» и «лежа», справедливо и для состояний «1» и «2» («солдатик в первой комнате» и «солдатик во второй комнате»). При таком выборе параметра (координаты) наиболее непривычным из того, о чем говорилось ранее, становится суперпозиция этих состояний (нахождение солдатика в обеих комнатах сразу). Но вспомним нечто подобное в классическом случае центра тяжести Луны из поста №72, когда этот центр для разных наблюдателей находится в разных местах пространства, и тогда эта «непривычность» несколько смягчится.

Теперь мы достаточно подготовлены для того, чтобы дать определения чистых и смешанных состояний, в которых могут пребывать солдатики той или иной дивизии (читай: чистые и смешанные состояния потоков электронов).

1.      Если существует окно, через которое видно, что внутри сферы все солдатики стоят (или лежат), то дивизия перед входом в сферу (и в самой сфере) находится в чистом состоянии «1» (или «2»).

2.      Если нет ни одного окна, через которое наблюдалось бы чистое состояние, то дивизия перед входом в сферу находится в смешанном состоянии.

Чтобы глубже осмыслить понятия, с которыми мы познакомились на примере с «солдатиками», снова повторим все еще раз, обратившись теперь уже не к «солдатикам», а к реальным микрочастицам, которые, как и солдатики, обладают двумя собственными состояниями (теперь мы в курсе того, что такое собственные состояния).

Взяв за основу идеи Фейнмана, рассмотрим, как можно подойти к пониманию состояния частицы с точки зрения ее поведения, наблюдаемого с помощью прибора Штерна-Герлаха. Подробно о разных схемах этого прибора, позволяющих фильтровать входной поток частиц и пр., можно прочесть все в тех же лекциях Фейнмана ([1], стр. 57-82). Но здесь для упрощения изложения воспользуемся схемой прибора для исследования «поведения» атомов (частиц), которые характеризуются только одним параметром, могущим при его измерении принимать два значения. Схема прибора приведена на Рис 1.

В приборе Штерна-Герлаха (S) поступающий на его вход A коллимированный пучок атомов (или других частиц), обладающих спином ½ (это частицы с двумя собственными состояниями),  расщепляется в неоднородном магнитном поле заданного направления на два пучка (см. рис. 1), затем сводится в один суммарный пучок и далее поступает на выход B. В верхнем и нижнем пучках атомы находятся в состоянии, соответствующем конкретному значению спина. Эти состояния обозначены на рисунке символами (+) и (-).

Кроме того, в приборе можно установить перегородку, перекрывающую путь на выход одному из пучков (см. рис. 1). Тогда, если перегорожен путь для нижнего пучка, то на выходе будет получен пучок частиц в чистом (+)‑состоянии спина относительно заданного прибором градиента поля. И наоборот, если перегорожен путь для верхнего пучка, то на выходе будет получен пучок частиц в чистом (-)‑состоянии. То есть в этих случаях, когда установлена одна из перегородок, прибор превращается в фильтр, с помощью которого можно «приготовить» пучок частиц в том или ином чистом состоянии (относительно заданного направления поля).

Если перегородки не установлены, то выходной поток частиц пройдет через прибор без изменений. Предполагается также, что через стенки прибора можно наблюдать за пучками, не возмущая их движения. (На самом деле наблюдать за пучками, не внося неустранимые возмущения в их движение, невозможно, поэтому зафиксировать, по какому пути прошла частица можно, если не сводить пучки в один общий, а сделать в приборе два выхода для каждого из пучков).

Используя прибор Штерна-Герлаха, можно отличить чистое состояние  пучка частиц от  смеси (смешанного состояния).

Смесью является пучок частиц, поступающий на вход прибора Штерна-Герлаха, если этот пучок разделяется прибором на два пучка независимо от ориентации прибора (независимо от положения в пространстве координатной системы XYZ, жестко связанной с прибором S). Однако входной пучок смесью не является, если существует такое положение осей XYZ, когда все его частицы проходят через прибор только в одном пучке,  в чистом (+)‑состоянии или в чистом (-)‑состоянии.

На самом деле, как мы это должны понимать, понятие чистого состояния является идеальным. Если, например, в пучке одна или две частицы (из сотен миллиардов) находятся в противоположном состоянии по сравнению с состоянием остальных частиц пучка, то все равно такой пучок на практике следует считать «чистым».

Вот мы и сделали первый шажок к пониманию того, что есть чистое состояние и что есть смесь. Давайте сделаем второй: соберем установку, представленную на Рис. 2 (все эксперименты мысленные, так что, как заметил Фейнман, на их реализацию не требуется ни копейки).

На рис. 2 изображены два прибора Штерна-Герлаха, последовательно расположенные друг за другом. Первый из них (на рис. 2 слева) — тот же прибор S, что и на рис. 1. Только на вход ему подается пучок частиц, уже находящийся в чистом +S состоянии (к символу «+» здесь добавлен символ, обозначающий прибор, который приготовил данное чистое состояние). Поэтому все частицы входного потока пойдут по верхнему пути в приборе S и поступят на вход второго прибора T в чистом состоянии +S. Прибор  T — это такой же прибор, как и S, но повернутый вокруг оси Y на 90⁰ по часовой стрелке, если смотреть в направлении оси Y.

Оказывается, что чистое состояние +S, поступающее на вход прибора T, вновь делится на два примерно одинаковых пучка, один из которых отклоняется в направлении градиента поля (ось Z') и приобретает «новое» чистое состояние +T, а второй отклоняется в противоположном направлении (состояние -T). То есть чистый пучок  +S расщепляется в приборе T на два пучка. (Такое поведение пучка +S вовсе не очевидно, но я подсмотрел у Фейнмана формулы, из которых оно следует J). Как же так получается, что из пучка, все частицы которого находятся в состоянии +S, извлекаются частицы еще в двух состояниях (+T и ‑T)? (Этот вопрос аналогичен вопросу о том, как из одного окна сферы мы видим всех солдатиков «стоящими», а из другого окна мы видим половину из них «лежачими» и половину «стоячими»?) Вопрос возникает в связи с тем, что у наших частиц при измерении можно обнаружить только два значения параметра, и если состояние +S обнаружено, то в «запасе» остается всего лишь одно состояние -S., а не два состояния (+T и ‑T).

А получается так потому, что чистое «состояние на самом деле» (то есть без вмешательства фильтрующего или измерительного макроприбора) есть когерентная (согласованная) суперпозиция многих (в рассматриваемом случае двух) состояний, которые существуют одновременно, если эту суперпозицию не нарушает макроскопический измерительный прибор. То, что обнаруживается конкретным прибором, есть всего лишь проекция чистого состояния частицы на данный прибор (данное «представление» S, T и пр.). Это «похоже» на случай вектора (например, радиус-вектор материальной точки), который существует «сам по себе», но может быть представлен проекциями на выбранную систему координат. Понятно, что базисных состояний может быть сколько угодно (как и систем координат для описания вектора), так как прибор Штерна-Герлаха может быть повернут в пространстве как угодно. Однако, следует сказать, что аналогия между описанием «состояния вектора» и описанием чистого состояния частицы лишь формальная. Потому что существование состояния объекта, описываемого проекциями классического вектора (например, материальной точки), имеет физический смысл без координатных систем. А чистое состояние частицы приобретает физический смысл только в связи с привлечением классического прибора.

Поясним два последних утверждения.

В случае микрочастиц  классический прибор, «задает» состояние частице, и любой иной прибор обнаруживает частицу, вообще говоря, уже в другом состоянии. Более того, если вы только помыслите, что частица без прибора имеет некоторое определенное состояние, и начнете из этого делать выводы, то, «несомненно, натворите ошибок в своем анализе» ([2], стр. 216). Я не буду углубляться в эту тему, подробно о ней можно прочесть в работе [2].

В классическом же случае вектора, исходящего из начала координат до, например, центра тяжести Луны (см. пост №72), тоже создается впечатление, что состояние Луны разное для разных наблюдателей, ведь для них ее центр тяжести находится в разных местах пространства. Однако это не так, о собственном неизменном состоянии Луны (в некоторый момент времени) говорить можно, потому что координаты центра тяжести Луны всегда могут быть пересчитаны от одной системы координат к другой.

Итак, мы получили некоторое представление о четырех возможных состояниях микрочастиц: чистом, смеси, собственном и базисном. Полное представление об этих состояниях (как, впрочем, и о других), мы получим, когда ознакомимся с математическим описанием подобных состояний. В квантовой механике физика и математика сплетены столь тесно, что порой их невозможно разграничить. Поэтому существует множество интерпретаций (придания физического смысла математическим формулам) квантовой механики. Наиболее остроумная, точная и обобщающая (с моей точки зрения) интерпретация содержится в словах Дэвида Мермина: «заткнись и вычисляй!» (Shut up and calculate!) [3], а не размышляй на тему о том, что там и почему происходит «на самом деле» в микромире. Но мы‑то с вами не намерены ничего вычислять, а хотим просто, хотя бы немного, разобраться в том, чем занимаются ученые-физики. Поэтому, хочешь-не хочешь, с математикой квантовой механики знакомиться придется. Если вам будет лень вникать в математические формулы — не вникайте, я буду приводить их для самого себя. Однако, вначале надо осмыслить уже «наговоренное». Поэтому остановимся, и не будем сейчас заниматься математическим аппаратом квантовой механики, необходимым для описания квантовых состояний. В свободные минуты от «дачных» дел я попытаюсь  разобраться с этой «математикой» (и с наиболее интересными состояниями частиц — запутанными). А затем в доступной форме доложу вам о проделанной работе.

До встречи по этой теме в следующем зимнем сезоне, если только мне не надоест тратить время попусту (я опять имею в виду «обилие» комментариев J).

Литература

1.      Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Квантовая механика //В кн.: Фейнмановские лекции по физике 8-9 (М.: Мир, 1978).

2.      Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Излучение, волны, кванты //В кн.: Фейнмановские лекции по физике 3-4 201-216 (М.: Мир, 1976).

3.      N. David Mermin Could Feynman Have Said This? // Physics Today.  2004,  b. 5,  c. 10.