71. Опечатки

Я расскажу здесь о том, какие трудности могут возникнуть при попытке заглянуть в мир науки, и сколько времени приходится тратить для получения хотя бы малой толики знаний.

В постах №53 и №66 я «угрожал» обсудить понятие «состояние квантового объекта». Угроза остается в силе, правда не уверен, что успею исполнить ее в этом зимнем сезоне. Ведь прежде, чем о чем-то внятно написать, надо самому досконально в этом разобраться. И вот я обложился имеющимися в моей библиотеке учебниками Ландау, Фейнмана, Орира, Купера и т.д., скачал из интернета несколько учебников по квантовой механике (особенно рекомендую М. Г. Иванов  Как понимать квантовую механику , 498 страниц) и начал интересоваться описанием понятия «состояние» в этих учебниках.  (Далее можно не читать текст, выделенный темно-красным цветом, если он по каким-либо причинам не сразу понятен).

В лекциях Фейнмана [1] пришлось на несколько дней задержаться на вопросе: какова амплитуда того, что частица, обладающая спином ½ и поляризованная «вверх» относительно оси A, окажется в состоянии «вверх» относительно оси z, и какова амплитуда обнаружить эту же частицу в состоянии «вниз» относительно оси z? Фейнман сразу же указал, как надо поступить, чтобы ответить на этот вопрос, и тут же привел необходимые соотношения для искомых амплитуд (см. [1], фиг. 4.10, формулы 4.36, с. 104-106, а также см. рисунок, приведенный ниже). Однако меня заинтересовали более общие соотношения (заинтересовала полная матрица перехода от оси A к оси z для произвольного состояния частицы, а не только частицы, поляризованной «вверх» относительно оси A). И поскольку инструкция, как поступить, чтобы найти нужные соотношения, Фейнманом была дана, я тут же приступил к реализации этой инструкции.

Каково же было мое изумление, когда, сделав необходимые повороты координатных осей и выписав вытекающие из этих поворотов соотношения, я обнаружил, что формулы 4.36, приведенные Фейнманом, не соответствуют найденным мной. Первое, что обычно в таких случаях приходит мне в голову, это то, что я, по крайней мере, невнимателен (во время «поворотов в голове» координатных осей). Тем более, Фейнман тоже заметил, что мы, люди, не приспособлены в своей голове «вертеть» координатные системы, не впадая в ошибки. «Не правда ли, странно, — говорит Фейнман, — что, живя в трех измерениях, мы все же с трудом воспринимаем, чтó произойдет, если сперва повернуться так, а потом еще как-нибудь. Вероятно, если бы мы были птицами или рыбами…и т.д.» ([1], с. 101). И я повторил вычисления многократно, не заглядывая в предыдущие записи. Итог тот же — формулы 4.36 лекций не совпадают с выводимыми мной (значит, нет доверия и к полной проекционной матрице, которую я получаю при вычислениях).

Возможные причины возникшего противоречия таковы (начиная с наиболее вероятных причин):

- ошибки в вычислениях (моих),

- что-то напутано в методике вычислений, предложенной в лекциях,

- поскольку итоговые формулы 4.36 приведены сразу, без вычислений, постольку они могут содержать ошибку при их переписи из первоисточника.

И я стал анализировать эти причины.

Искать ошибки в своих вычислениях, решил я, было бы глупо, так как этим я уже много занимался, и вернуться к этому вопросу целесообразно лишь после того, как будут исключены остальные возможности. Я решил немного передохнуть, и продолжить чтение лекций. Это было верным решением, так как мне сразу повезло: на странице 202 я обнаруживаю формулу (8.31), полностью совпадающую с формулой (4.36), и, о счастье! есть возможность полностью проследить ее вывод несколько иным способом, чем это было сделано раньше (когда в голове «вращались» координатные системы). Разумеется, я тут же проследил в подробностях за выводом формулы (8.31), убедился в том, что он верен, и, значит, третья причина отпадает — формулы (4.36), приведенные Фейнманом без вывода, верны. То есть, либо я все же ошибся в вычислениях, либо ошибочна методика, которой я следовал при проведении вычислений.

Что касается этой методики, то она столь прозрачна в смысле того, что надо сделать, что тут не согласиться с этой методикой просто нельзя, а ошибка могла состоять только в знаке угла поворота координатных систем. Не буду утомлять вас подробностями того, как я выяснил правильные знаки этих углов, а сообщу сразу итог: на странице 104 упомянутых лекций имеется опечатка (даже две), которая и привела к потере так недостающего времени, которое можно было бы употребить на более важные дела.

Чтобы завершить эту тему, я приведу

во-первых, обсуждаемую злополучную опечатку;

во-вторых, оригинальный (из лекций) рисунок 4.10, и рисунок, дополненный для большей ясности осями z' и x', о которых Фейнман говорит, но на фигуре 4.10 они не изображены;

в-третьих, найденные соотношения между амплитудами для перехода от произвольного состояния частицы в базисе ±A к состоянию в базисе ±z. (О состояниях и базисах мы поговорим в других постах).

Итак, на стр. 104, пятая строка снизу, напечатано (опечатки выделены синим цветом): «Во-первых, надо сделать поворот на —π/2 вокруг оси A, что переведет ось x в линию B на рисунке. Затем повернуть на —θ вокруг линии B (вокруг новой оси x' системы A), чтобы ось A попала на ось z».

Должно же быть напечатано так (изменения отображены синим цветом): «Во-первых, надо сделать поворот на —π/2 вокруг оси A, что переведет ось x' в линию B на рисунке. Затем повернуть на +θ вокруг линии B (вокруг новой оси x' системы A), чтобы ось A попала на ось z».

Вот рисунки, на которых все это можно посмотреть:

Наконец, если произвольное состояние |Ψ'> частицы в базисе  |+z'> и  |-z'> есть

|Ψ'> = C₊' |+z'> + C_-' |-z'>,

а вектор состояния |Ψ> частицы в базисе  |+z> и  |-z> равен

|Ψ> = C₊ |+z'> + C_- |-z'>,

то связь амплитуд перехода от одного состояния к другому дается формулами:

Собственно, последние соотношения — это все, что я хотел найти. Кстати, если эти соотношения подробно не расписывать, а представить в общем виде с коэффициентами α, β, γ и δ так:

то эти коэффициенты должны удовлетворять равенствам (см. [2], стр. 148):

αδ – βγ = 1

α = δ*, β = -γ*.

Символ «*» в этих равенствах означает комплексное сопряжение, а сами равенства легко проверить, подставив в них соответствующие коэффициенты из найденных соотношений, и убедиться в том, что соотношения верны, иначе говоря, опечатки имеют место быть.

Однако возникают новые вопросы. Неужели обнаруженные мной опечатки с 1963 года (когда были изданы лекции издательством Addison-Wesley Publishing Company в английском варианте) за столь длительное время не были обнаружены? Или с 1978 года (Издательство «Мир», Москва, русский перевод лекций)? А, быть может, это не опечатки вовсе, а небрежность автора?

Чтобы ответить на эти вопросы я «полез» в интернет, и отсюда скачал 8 том лекций, где обнаружил, что в интернетовской копии на русском языке ничего не исправлено — те же опечатки, что и в издании 1978 года.

Надо было срочно «добыть» оригинальный англоязычный текст лекций. И тут я вновь, но теперь уже по своей глупости, потерял массу времени. Потому что при скачивании лекций с сайта eBookBrowse, пренебрег предупреждениями моего «антивирусника»: какие вирусы могут быть на подобных порталах, думал я? Никогда не считайте, будто бы вы умней антивирусной программы!!! Мне из-за своей глупости пришлось не менее четырех часов «чистить» компьютер несколькими мощными программами, уничтожающими «шпионов». Зачем, подумал я, шпионов засылают при скачивании лекций Фейнмана? Единственный ответ, который пришел мне в голову, таков: «они» думают, что люди, интересующиеся наукой, очень богаты, и вскрыв банковские реквизиты этих людей, можно поживиться. Как «они» ошибаются!

Но я отвлекся. В интернете можно найти все (что люди там разместили). И вот здесь я обнаружил полный англоязычный вариант лекций от 1963 года без всяких вирусов! Так что, если вам понадобятся эти лекции на английском языке, можете здесь и «кликнуть».

Какова же была моя радость, когда я обнаружил, что «главной» опечатки в оригинальном варианте лекций нет (она появилась только в русском переводе). Значит, я был внимателен при чтении лекций, что приятно J. Вот фрагмент оригинального текста:

Однако, как видно из этого фрагмента, и английский вариант не избежал опечаток при типографском наборе текста (автору я полностью доверяю J). Ведь утверждение, будто бы «поворот на —π/2 вокруг оси A, что переведет ось x в линию B на рисунке» (which brings the x-axis into the line B in the figure), ошибочно. Потому что поворот вокруг оси A не переводит ось x  в линию B, а поворачивает лишь оси x' и z' (и не изображенную на рисунке ось y', см. рисунок).

Ну вот, с опечатками разобрались, эти мелкие трудности устранены, и теперь я почти готов к новым испытаниям — изучению и обсуждению (на чистом и понятном русском языке J) того, что называют «состоянием квантового объекта». Почему я сказал «почти»? Потому что чувствую, что без предварительного обсуждения старого вопроса о том, что есть реальность, говорить о «состоянии», не задумываясь над вопросом, реально оно или нет, по-видимому, бессмысленно.

Литература

1.      Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Квантовая механика //В кн.: Фейнмановские лекции по физике 8-9  (М.: Мир, 1978)

2.      Ландау Л., Лифшиц Е. Квантовая механика //В кн.: Краткий курс теоретической физики 2 (М.: «Наука», 1972)

70. Сегодня вечером

Сегодня вечером смотрел передачу с одноименным названием с Андреем Малаховым.

Не выдержал, написал свой комментарий на сайте, правда, не обнаружил, что комментарий опубликован, хотя и поблагодарили за пересылку комментария. Может, у них цензура? Не знаю,   и поэтому повторяю здесь тот текст, который отправил Малахову.

«Смотрел передачу, нервничал. Впечатление такое, что Россия двинулась не то, что в средневековье, но пошла семимильными шагами дальше, в дохристианское время к каменным идолам. Одно утешает – студия, это не вся Россия, и представитель МГУ это подтвердил.

Лично меня удивил лишь один человек, принесший в студию «обломок НЛО из сплава металлов»: надо же, полная научная невежественность и одновременно здравое замечание о том, что «болванка», коей является железно-каменный метеорит, не взрывается (отсюда он делает нелепый вывод о том, что Чебаркульский метеорит есть НЛО). Я тоже сразу после падения метеорита задумался над этим вопросом. Ответ на него см. пост №61 

Уважаемый Андрей!

Вы почти всегда находите прекрасные темы для своих передач. Однако приглашение на передачи абсолютно безграмотных людей (уфологов, экстрасенсов, просто мошенников, зарабатывающих деньги на памяти своих умерших детей или инвалидов) и пропаганда их взглядов, мне кажется, недопустимы, потому что наносят порой непоправимый вред психике многих телезрителей».

P.S. Цензуры на указанном сайте, по-видимому, нет. Сегодня (19.03.2013) заглянул на этот сайт, на нем (с некоторой задержкой)   мой комментарий опубликован.

69. Синдром Альцгеймера

«Дежавю» — это ощущение ситуации, в которой будто бы ты уже был, а на самом деле ничего подобного не было. Опасаться следует противоположного ощущения, когда ситуация была на самом деле, но ты о ней не помнишь. Более того, если ты не помнишь о прошлой ситуации, следовательно, ты никак не защищен от ощущения, будто бы ты, сказав нечто, не выдал  чужую мысль за свою. Подобный непроизвольный плагиат может отравить спокойную жизнь собственными подозрениями на себя самого! (Вспомним искренние страдания Дэвида Мермина по поводу высказанной, по-видимому, им самим интерпретации квантовой механики «заткнись и вычисляй!» [1]). Тому, кто опасается подобного состояния, следует просто помалкивать, учитывая особенно то, что почти все, о чем мы «вещаем», уже было сказано кем-то до нас.

К чему обо всем этом я говорю? А к тому, что собираюсь здесь воспроизвести некоторые свои (?) мысли, которые я опубликовал более десяти лет тому назад на своем сайте. Пусть все будет собрано в одном месте, тем более что, судя по «обилию» посетителей этого блога, в разделе «Мысли» моего сайта посетителей тоже могло быть не больше. Кроме того, здесь любой посетитель сможет указать ссылку на настоящего автора «мысли», если таковой имеется. За это я буду очень признателен.

Начну с темы, которая явилась итогом наблюдений в тот период, когда я по воле случая работал некоторое время в педагогическом коллективе. 

"Правила" служебной этики

1.      В разговоре с начальником не употребляй профессиональных терминов и выражений.

2.      Задавай начальнику только те вопросы, на которые он знает ответ.

3.      Критикуй начальника только в отсутствие коллег и его самого.

4.      Если коллега начинает говорить о своих достижениях - вежливо меняй тему разговора или уходи, сославшись на неотложные дела.

5.      Закон скрытности: о таланте коллеги можно узнать только из сообщений средств массовой информации.

6.      Закон коллективизма: личность разлагает коллектив, поэтому она должна быть выявлена и уволена.

Литература

1.      N. David Mermin Could Feynman Have Said This? // Physics Today.  2004,  b. 5,  c. 10.

68. Март, 8-е

Всех женщин поздравляю с днем 8 Марта! Здоровья вам и счастья!

Встречайте каждую Весну не в одиночестве, а в кругу своих родных и близких людей!

 

67. Начало конца

Начинаю убежденно отстаивать правоту своих высказываний, которые никогда не произносил.
Выработка тестостерона переместилась в мозг.
Мысль «с кем бы еще станцевать?» сменилась проблемой «чем бы накормить мужа?».
Начал забывать, надо ли было что-то запомнить или нет.
Он иногда забывает, зачем утром встает.

Уже и по праздникам не каждый раз.

66. Квантовая механика и классическая. Часть 2.

Продолжение. Начало см. пост№ 53.

Здесь поговорим о понятии «состояние» объекта в классической физике. Вообще говоря, об этом понятии  говорится в сотнях учебников, и оно известно большинству людей.  Одни познакомились с этим понятием еще в школе, другие, учась в институте. А некоторые, отправляясь на рыбалку, брали с собой учебник по теоретической механике, и в перерыве между поклевками, заглядывали в него, чтобы вспомнить что-нибудь о функции Лагранжа. Так что обсуждение всем известного понятия — довольно глупое дело. Однако я хотел бы подчеркнуть различия, которые имеют место быть в «состояниях» классических и квантовых объектов, а для этого нужно создать прямо здесь (а не в учебниках и не в головах знающих людей) некий «классический» фон, на котором особенности «состояний» квантовых объектов проявятся четче. Так что те, кто знаком с этой темой, могут далее не читать. А я перед созданием  «классического» фона рассмотрю с оставшимися читателями мысленный эксперимент, который, разумеется, условен, но основную особенность отличий состояний классических и квантовых объектов сможет продемонстрировать.

Изготовим трубу, внутри которой по всей длине установим, скажем, три перегородки с отверстиями. Пусть эти отверстия перекрывают друг друга так, что камешек (шарик, пуля и т.п.), брошенный в трубу, если ему повезет, сможет беспрепятственно пролететь «навылет», не столкнувшись с перегородками (другой брошенный камешек, которому не повезет, столкнется с какой-нибудь перегородкой и застрянет в трубе). Кроме того, перегородки и отверстия в трубе подобраны так, что не только некоторые камешки, но и некоторые микрочастицы пролетают сквозь трубу «навылет». Если «приготовить» специальной электронной пушкой поток этих микрочастиц в так называемом чистом состоянии, о котором будем говорить позже, то вообще весь поток частиц беспрепятственно будет пролетать через трубу.

Теперь внимание! Принципиальную разницу в состояниях «камешков» (классических объектов) и микрочастиц (квантово-механических объектов) мы обнаружим, убрав среднюю перегородку в трубе. Тогда некоторые камешки, брошенные в эту модернизированную трубу, будут по-прежнему пролетать через нее насквозь (понятно, что сделать им это даже легче, ведь перегородок стало меньше!), а вот микрочастицы, находящиеся в том же чистом состоянии, что и прежде, преодолеть оставшиеся две перегородки никогда не смогут.  Как же раньше они «справлялись» не только с этими двумя, но еще и с третьей перегородкой, когда она была установлена? Подробно это разъясняется, например, в лекциях по физике Фейнмана [1].

Итак, начнем создавать «классический» фон, рассмотрев представления о понятии «состояние», используемые в быту и в классической механике.

Вспомним о картинках, иногда публикуемых в детских журналах с просьбой найти в них различия (для развития детского внимания и пр.). Чем больше различий ребенок найдет, тем он внимательней. Но вот, если вторая из двух картинок является точной копией первой картинки, то различий в них обнаружено быть не может (за исключением, пожалуй, того, что эти картинки напечатаны в разных местах). В таком случае мы говорим: состояние первой картинки такое же, как и второй. И вообще состояние некоторой системы характеризуется определенным набором признаков, которые могут быть изменены (и тогда состояние системы меняется). Рассмотрим, что же придумали физики, чтобы следить за состоянием (описывать его) классической макроскопической системы.

Первый пример. Пусть система состоит из двух не связанных друг с другом точек. Тогда признаки, которые могут измениться и тем самым поменять состояние системы —координаты этих точек и их скорости (если точки материальны, скорости заменяют импульсами). Совокупность признаков, способных изменить свое значение, называют обобщенными координатами, а их количество — количеством степеней свободы системы. Так что наша система, состоящая из двух точек, имеет двенадцать степеней свободы, по шесть степеней для каждой точки: три возможных перемещения точки вдоль координатных осей (три проекции вектора перемещения) и три проекции импульса на координатные оси.

Далее. Координатную систему, построенную на осях, каждая из которых соответствует одной из обобщенных координат, называют фазовым пространством. Совокупность координат каждой точки этого пространства представляют собой, таким образом, полный набор признаков, характеризующих состояние системы в данной точке. Иначе говоря, каждая точка этого пространства отражает определенное состояние системы, а изменение состояния во времени представляется движением этой точки по некоторой траектории (эту траекторию называют фазовой траекторией). Разумеется, чтобы знать координаты и импульсы, надо их измерить (или вычислить по вначале измеренным данным). Измерения всегда вносят погрешность, так что обобщенные координаты, используемые при расчетах, лежат в некоторых интервалах их вероятных значений. Поэтому в общем случае система в фазовом пространстве представлена не одной точкой, а «облаком» ее вероятных состояний.

Второй пример. Он демонстрирует нам, что в качестве координат в фазовом пространстве могут служить такие сущности, непохожие на «координаты», как, например, вероятности.

Есть различные игры в «кости». При бросании игральной кости  возможно шесть исходов — выпадение цифр n=1,2,3,4,5 или 6 на верхней грани (или соответствующее число выгравированных углублений). «Правильная» кость должна быть изготовлена так, чтобы при ее бросании, скажем, на стол, вероятность выпадения любого из чисел равнялась одной шестой. В теории игр (теории вероятностей) совокупность всех исходов бросаний кости называют пространством элементарных событий. (Возможны и составные события, например, при бросании нескольких игральных костей, но мы не будем в эти вопросы углубляться). И тогда можно говорить о «состоянии» кости, как о наборе значений вероятностей выпадения каждой из граней. В случае равновероятных исходов эта совокупность такая:

Ω ≡ (1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6).

Однако мошенник может изготовить фальшивую кость, утяжеляя или облегчая материал вблизи той или иной грани, и тогда выпадение цифр при бросании кости станет не равновероятным, например, таким:

Ω ≡ (1/6, 1/6, 1/6, 1/5, 1/5, 1/10).

 Зная  «состояние» кости, мошенник сможет извлечь выгоду при игре в кости.

Мы видим, что в данном примере каждому событию (при бросании кости) соответствует некоторая вероятность его реализации  p_n (n = 6), а совокупность Ω всех этих вероятностей описывает состояние кости. Иначе говоря, параметры, описывающие состояние объекта, могут быть выбраны не все: в данном примере нас не интересует, например, место (координата), куда упала кость и пр. И тогда можно отображать каждое возможное состояние в виде точки в воображаемом n-мерном вероятностном пространстве состояний, откладывая вдоль осей этого пространства значения p_n.

Третий пример. Это пример любой термодинамической системы, близкой к равновесию (газ, вода и пр.). В этом случае есть три параметра, характеризующие состояние системы: температура, давление и объем. Так что система может быть отображена точкой в трехмерном пространстве, но это, несмотря на количественное совпадение осей координат с обычным пространством, не реальное, а абстрактное пространство, на осях которого откладываются значения температуры, давления и объема.

Таким образом, состояние классической системы описывается единственной точкой (или «облаком» точек) в абстрактном многомерном фазовом пространстве. Число измерений этого пространства равно числу параметров, описывающих систему. При изменении состояния системы в фазовом пространстве остается «след» от перемещения точки по фазовому пространству — фазовая траектория (или след от «облака»). И, наконец, надо сказать еще следующее: состояние классической системы не зависит от того, наблюдаем мы за ней или нет.

Пожалуй, ничего более о состоянии классических объектов в этой теме нам знать не надо, а о «состоянии» квантовых систем и их математическом описании поговорим в других постах.

Продолжение следует.

Литература

1.      Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Квантовая механика //В кн.: Фейнмановские лекции по физике 8-9 57-71 (М.: Мир, 1978)

65+

В часы, свободные от секса, она выглядела очень скромно.

Для нее это был необходимый ритуал знакомства.

Легче всего соблазнить женщину с дефектом.